Números Reales

📚 Índice

🔵 Los números reales	🟢 Números racionales e irracionales	🟡 La recta real	🔵 Intervalos y valor absoluto

🔴 Aproximaciones y errores	🎮 Juegos interactivos	Fichas descargables	❓ Preguntas más frecuentes (FAQ)

🔵 Los números reales

Los números reales son todos los números que podemos representar en la recta numérica. Dentro de los números reales encontramos números que ya conocemos, como los naturales y los enteros, pero también números decimales, fracciones y números irracionales. Por ejemplo:

• 7 → número natural.
• −4 → número entero.
• 1/2 → número racional.
• 0,75 → número racional.
• √2 → número irracional.

Conjuntos numéricos

Los números reales se organizan en diferentes conjuntos: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

• Naturales (ℕ) → 0, 1, 2, 3, 4…
• Enteros (ℤ) → …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3…
• Racionales (ℚ) → números que pueden escribirse como una fracción.
• Irracionales → números que no pueden escribirse como una fracción exacta.
• Los números racionales e irracionales forman juntos los números reales (ℝ).

🟢 Números racionales e irracionales

Números racionales

Un número es racional cuando puede expresarse como una fracción: a/b donde a y b son números enteros y b ≠ 0. Por ejemplo:

• 1/2
• −3/4
• 5 = 5/1

También son racionales los números decimales exactos y los decimales periódicos. Por ejemplo:

• 0,5
• 2,75
• 0,333…

Números irracionales

Los números irracionales no pueden expresarse como una fracción exacta de dos números enteros.
Su expresión decimal tiene infinitas cifras que no se repiten siguiendo un patrón periódico. Algunos ejemplos son:

• √2 = 1,41421356…
• √3
• π

Diferencias entre racionales e irracionales

La diferencia fundamental está en su expresión decimal:

Racionales	Irracionales
Pueden escribirse como fracción	No pueden escribirse como fracción de enteros
Decimal exacto o periódico	Decimal infinito no periódico
Ejemplo: 0,75	Ejemplo: √2
Ejemplo: 1/3	Ejemplo: π

🟡 La recta real

Los números reales pueden representarse sobre una recta numérica. El 0 suele utilizarse como punto de referencia. A la derecha encontramos los números positivos: 1, 2, 3, 4… A la izquierda encontramos los números negativos: −1, −2, −3, −4… Por ejemplo:

−3 < −1 < 0 < 2 < 5

Para comparar números reales utilizamos los signos:

• > mayor que ➡ 5 > 2
• < menor que ➡ −2 < 3
• = igual a 4 = 4

Podemos ordenar los números reales de menor a mayor utilizando su posición en la recta. Por ejemplo: −3, −1, 0, 1/2, 2, √5
Como: √5 ≈ 2,236 sabemos que: −3 < −1 < 0 < 1/2 < 2 < √5

¡OJO! En la imagen hay errores como por ejemplo: el número -1,41 que tendría que estar colocado más hacia la derecha.

🟣 Intervalos y valor absoluto

El valor absoluto de un número es la distancia que hay desde ese número hasta el 0 en la recta real. Se representa mediante dos barras: |x| Por ejemplo: |5| = 5 y: |−5| = 5 Los dos números están a una distancia de 5 unidades del cero.

🧠 Truco: el valor absoluto nunca es negativo.

Intervalos abiertos y cerrados

Un intervalo representa todos los números que se encuentran entre dos valores.

• [2, 5] incluye el 2 y el 5.
• (2, 5) no incluye ninguno de los extremos.
• (2, 5] incluye el 5, pero no incluye el 2.
• [2,5) incluye el 2, pero no incluye el 5.

Recuerda

• [ ] → el extremo está incluido.
• ( ) → el extremo no está incluido.

Unión e intersección de intervalos

La unión ∪ de dos intervalos reúne todos los números que pertenecen a uno u otro intervalo.
La intersección ∩ reúne solamente los números que pertenecen a los dos intervalos al mismo tiempo. Por ejemplo:

• A = [1, 5]
• B = [3, 7]

La intersección es: A ∩ B = [3, 5] porque son los números que aparecen en ambos intervalos.
La unión es: A ∪ B = [1, 7] porque reúne todos los números de los dos intervalos.

🧠 Truco

∪ Unión → juntamos.
∩ Intersección → buscamos lo que coincide.

Representación de intervalos

Los intervalos también pueden representarse sobre la recta real. Por ejemplo:

• [2, 5] se representa con los extremos 2 y 5 incluidos. ●
• (2, 5) se representa con los extremos 2 y 5 sin incluir.○

📌 Recuerda

• Punto cerrado ● → incluido.
• Punto abierto ○ → no incluido.

🔴 Aproximaciones y errores

En muchas ocasiones no necesitamos utilizar el valor exacto de un número, sino una aproximación.

• Por ejemplo: √2 = 1,41421356…
• Podemos aproximarlo a las décimas: √2 ≈ 1,4
• o a las centésimas: √2 ≈ 1,41
• El símbolo ≈ significa «aproximadamente igual».

Error absoluto

El error absoluto indica cuánto se aleja una aproximación del valor exacto. Se calcula mediante:
Error absoluto = |valor exacto − valor aproximado|
Por ejemplo, si el valor exacto es 10 y utilizamos 9,8 como aproximación:
|10 − 9,8| = 0,2
El error absoluto es: 0,2

Error relativo

El error relativo compara el error cometido con el valor exacto. Se calcula mediante:
Error relativo = error absoluto ÷ valor exacto
Si queremos expresarlo como porcentaje, multiplicamos por 100.

• Por ejemplo: valor exacto: 10
• Valor aproximado: 9,8
• Error absoluto: 0,2
• Error relativo: 0,2 ÷ 10 = 0,02
• En porcentaje: 0,02 × 100 = 2 %
• Por tanto, el error relativo es del 2 %.

🎮 Juegos

Ahora puedes practicar los números reales mediante juegos interactivos y fichas de ejercicios.

Fichas

📝 Resumen

Los números reales incluyen los números naturales, enteros, racionales e irracionales. En esta página aprenderás a clasificarlos, compararlos y representarlos en la recta real, además de trabajar con valor absoluto, intervalos, aproximaciones y errores absoluto y relativo.