Tema 1: NÚMEROS ENTEROS

 

EL VALOR ABSOLUTO, ES UN NÚMERO SIN SIGNO.  EL VALOR ABSOLUTO DE:

-8 → 8      72→ 72

Multiplicación de números enteros:

Si los números que multiplicamos tienen los signos iguales, el resultado será positivo.  Si los números que multiplicamos son de diferente signo, el resultado será negativo.

 + × + = +      →      5 × 3 = 15   POSITIVO

−× − = +     → −5×(−3)= 15   POSITIVO

+ × − = −      →     5×(−3)= −15 NEGATIVO

−× + = −      → −5×(−3)= −15 NEGATIVO

 

División de números enteros:

Con los signos pasa igual que en la multiplicación,  si son iguales, el resultado será positivo y si son diferentes, el resultado será negativo.

 

+ : + = +           →       6 : 3 = 2 POSITIVO

−: − = +            →    −6:(−3)= 2 POSITIVO

+ : − = −           →     6 :(−3)=−2 NEGATIVO

−: + = −            →     −6: 3 = −2 NEGATIVO

 

                    NÚMEROS REALES (R)

IRRACIONALES   (I)                   RACIONALES (Q)

ENTEROS (Z)                          FRACCIONARIOS

Naturales                           Decimales exactos

Cero                                  Decimales periódicos (puros o mixtos)

Enteros negativos

… -7    -6    -5    -4    -3     -2     -1             1     2     3     4    5    6    7…

   (no naturales o enteros negativos) (cero)  (naturales o enteros positivos)

EL VALOR ABSOLUTO, ES UN NÚMERO SIN SIGNO.  EL VALOR ABSOLUTO DE:

-8 → 8

   72→ 72

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Si los números que multiplicamos tienen los signos iguales, el resultado será positivo.  Si los números que multiplicamos son de diferente signo, el resultado será negativo.

 + × + = +      →      5 × 3 = 15   POSITIVO

−× − = +     → −5×(−3)= 15   POSITIVO

+ × − = −      →     5×(−3)= −15 NEGATIVO

−× + = −      → −5×(−3)= −15 NEGATIVO

DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Con los signos pasa igual que en la multiplicación,  si son iguales, el resultado será positivo y si son diferentes, el resultado será negativo.

+ : + = +           →       6 : 3 = 2 POSITIVO

−: − = +            →    −6:(−3)= 2 POSITIVO

+ : − = −           →     6 :(−3)=−2 NEGATIVO

−: + = −            →     −6: 3 = −2 NEGATIVO

 

SUMA DE NÚMEROS ENTEROS

Si los signos son iguales, se suma y se mantiene el signo:

+ + + = +           →     6 + 6 = 12   POSITIVO

− + − = −           →    -6+(-6)=-12  NEGATIVO

Si los signos son diferentes, se resta y se pone el signo del número que tenga el mayor valor absoluto:

6 + (-3) = 3 POSITIVO porque el número 6 es más grande que el 3 y se pone su signo.

-6 + 3 = -3   NEGATIVO porque el número 6 es más grande que el 3 y se pone su signo.

RESTA DE NÚMEROS ENTEROS

El símbolo de la resta le cambia el signo a la cifra que le sigue y la resta pasa a ser una suma, es decir, el -3 pasa a ser +3 y la resta pasa a ser una suma.

6 – (-3) = 6 + (+3) = 9 POSITIVO

POTENCIA DE NÚMEROS ENTEROS

Al elevar un número negativo a una potencia, si el exponente es par, el resultado es positivo y si el exponente es impar, el resultado es negativo.

(+) elevado a par= +   5² = 5·5 =  25

(-) elevado a par = +   (-5)² = (-5)·(-5) = 25

(+) elevado a impar = +   5³ = 5·5·5 = 125

(-) elevado a impar = –   (-5)³= (-5)·(-5)·(-5) = -125

 

  • La potencia de 0 es 1.

          a0 =1
(− a)0 =1

  • La potencia con exponente negativo es su inversa positiva.

4¯² = ¼²

  • Producto con la misma base → se mantiene la base y se suman los exponentes.

   a².a³ = a²+³

  • División con la misma base → se mantiene la base y se restan los exponentes.

4³ : 4² = 4³¯² = 4¹ = 4

  • Potencia de una potencia → se mantiene la base y se multiplican los exponentes.

(a²)³ = a²·³

  • Producto con diferentes bases y mismos exponentes → se multiplican las bases y se mantiene el exponente.

 23 · 43 = (2 · 4)3=83

  • División con diferentes bases y mismos exponentes → se dividen las bases y se mantiene el exponente.

63 : 33 = (6:3)3 = 23

RAÍZ CUADRADA DE UN NÚMERO ENTERO

  • La raíz cuadrada es la operación inversa de elevar al cuadrado.

√a=b  ⇔  b²=a

√49=7  ⇔  7²=49

  • Los números cuya raíz cuadrada es un número entero se llaman cuadrados perfectos.
  • Un número positivo tiene dos soluciones (raíces cuadradas).  √(+16) = +4 y (-4)
  • Un número negativo no tiene solución.√(-16) = imposible (no hay ningún número que multiplicado por sí mismo me de un número negativo).

REGLA DE PRIORIDAD EN LAS OPERACIONES

  1. Se calculan los paréntesis.
  2. Se calculan las multiplicaciones y divisiones.
  3. Por último se realizan las sumas y las restas.

Ejercicios:

1.Suma las siguientes operaciones:
  • ( + 5 ) + ( + 3 ) =
  • ( – 8 ) + ( – 5 ) =
  • ( – 3 ) + ( + 9 ) =
  • (- 2 ) + ( – 15) =
  • ( – 4 ) + ( – 4 ) =
  • ( – 1 ) + ( + 7 ) =
  • ( – 5 ) + ( + 0 ) =
  • ( – 5 ) + ( + 5 ) =

2. Resta las siguientes operaciones:

  •  ( – 8 ) – ( + 0 ) =
    ( – 5 ) – ( + 5 ) =
  • ( – 3 ) – ( + 9 ) =
    ( – 8 ) – ( – 5 ) =

3. Clasifica los siguientes números en positivos y negativos: 

 +3
-5
+7
-9
+32
-6
25
-14
+345
-89

4.Expresa con números negativos las siguientes expresiones:

a) 10 grados bajo cero
b) Tercer sótano
c) 3 metros bajo el nivel del mar
d) 12 grados bajo cero

5.Realizar los siguientes ejercicios con operaciones combinadas:

−1 + 2 −3 + 4 − 5 − 6 =

−1 + 2 −3 + 4 − 5 − 6 = −9

5 · (−2) − 3 · (−1) − 5 · 2 + 7 =

5 · (−2) − 3 · (−1) − 5 · 2 + 7

= −10 + 3 − 10 + 7 = −10

24 : (−2) − 3 · 4 − 6 : 2 − (−3) · (−2) =

−12 − 12 − 3 − 6 = −33

(−4)3 : 2 − 3 · 23 + 5 · (−3) − 20 =

(−4)3 : 2 − 3 · 23 + 5 · (−3) − 20

= − 64 : 2 − 3 · 8 + 5 · (−3) − 20 =

= − 32 − 24 − 15 − 20 = −91

3 − (5 · 2) + 12 : (−3) − 4 · (6 − 4) =

3 − (5 · 2) + 12 : (−3) − 4 · (6 − 4) =

= 3 − 10 − 4 − 4 · 2 =

= 3 − 10 − 4 − 8 = −19

3² − (4 − 3 · 2) + 6 + 2 · (24 : 4) =

3² − (4 − 3 · 2) + 6 + 2 · (24 : 4) =

= 9 − (4 − 6) + 6 + 2 · (16 : 4) =

= 9 − (− 2) + 6 + 2 · 4 =

= 9 + 2 + 6 + 8 = 25

2 − [2 − (−4) − 12 : (−3)] − (5² · 3 − 1) =

2 − [2 − (−4) − 12 : (−3)] − (5² · 3 − 1) =

= 2 − [6 − (−4)] − (25 · 3 − 1) =

= 2 − (6 + 4) − (75 − 1) =

= 2 − (10) − 74 =

= 2 − 10 − 74 = −82

4 − [2 − (3 − 4 · 3)] + [4 − (24 : 4)]5 − 4 =

4 − [2 − (3 − 4 · 3)] + [4 − (24 : 4)]5 − 4

= 4 − [2 − (3 − 12)] + (4 − 6)5 − 4 =

= 4 − [2 − (−9)] + (−2)5 − 4 =

= 4 − (2 + 9) − 32 − 4 =

= 4 − 11 − 32 − 4 = −43

6 − {3 − [−13 + 3 · (−2)2]5} − [4 − (−2)³] + 6 =

6 − {3 − [−13 + 3 · (−2)2]5} − [4 − (−2)³] + 6 =

= 6 − [3 − (−13 + 3 · 4)5] − [4 − (−8)] + 6 =

= 6 − [3 − (−13 + 12)5] − [4 + 8] + 6 =

= 6 − [3 − (−1)5] − (12) + 6 =

= 6 − [3 − (−1)] − 12 + 6 =

= 6 − (3 + 1) − 12 + 6 =

= 6 − 4 − 12 + 6 = −4

10

{[(−8) : (−2)] − [(−6)² : 9]}10 − [(−3)³ : (−3)0 + 2] =

 

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