Tema 1: NÚMEROS ENTEROS

EL VALOR ABSOLUTO, ES UN NÚMERO SIN SIGNO.  EL VALOR ABSOLUTO DE:
-8 → 8      72→ 72

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JUEGO: OPERACIONES CON POSITIVOS Y NEGATIVOS 

                   NÚMEROS REALES (R)

IRRACIONALES   (I)                   RACIONALES (Q)

ENTEROS (Z)                          FRACCIONARIOS.
Naturales                           Decimales exactos.
                                           Cero                                  Decimales periódicos (puros o mixtos).

                                                Enteros negativos

… -7    -6    -5    -4    -3     -2     -1       0       1     2     3     4    5    6    7…   

 (no naturales o enteros negativos) (cero)  (naturales o enteros positivos)

JUEGO: multiplicar y dividir posesivos y negativos 

Multiplicación de números enteros:
Si los números que multiplicamos tienen los signos iguales, el resultado será positivo.  Si los números que multiplicamos son de diferente signo, el resultado será negativo.  

 + × + = +      →      5 × 3 = 15   POSITIVO
−× − = +     → −5×(−3)= 15   POSITIVO
+ × − = −      →     5×(−3)= −15 NEGATIVO
−× + = −      → −5×(−3)= −15 NEGATIVO

 División de números enteros:
Con los signos pasa igual que en la multiplicación,  si son iguales, el resultado será positivo y si son diferentes, el resultado será negativo. 

+ : + = +           →       6 : 3 = 2 POSITIVO
−: − = +            →    −6:(−3)= 2 POSITIVO
+ : − = −           →     6 :(−3)=−2 NEGATIVO.
−: + = −            →     −6: 3 = −2 NEGATIVO

SUMA DE NÚMEROS ENTEROS

Si los signos son iguales, se suma y se mantiene el signo:
+ + + = +           →     6 + 6 = 12   POSITIVO
− + − = −           →    -6+(-6)=-12  NEGATIVO

Si los signos son diferentes, se resta y se pone el signo del número que tenga el mayor valor absoluto:
6 + (-3) = 3 POSITIVO porque el número 6 es más grande que el 3 y se pone su signo.
-6 + 3 = -3   NEGATIVO porque el número 6 es más grande que el 3 y se pone su signo.

RESTA DE NÚMEROS ENTEROS

El símbolo de la resta le cambia el signo a la cifra que le sigue y la resta pasa a ser una suma, es decir, el -3 pasa a ser +3 y la resta pasa a ser una suma.
6 – (-3) = 6 + (+3) = 9 POSITIVO

POTENCIA DE NÚMEROS ENTEROS.
Al elevar un número negativo a una potencia, si el exponente es par, el resultado es positivo y si el exponente es impar, el resultado es negativo.
(+) elevado a par= +   5² = 5·5 =  25
(-) elevado a par = +   (-5)² = (-5)·(-5) = 25
(+) elevado a impar = +   5³ = 5·5·5 = 125
(-) elevado a impar = –   (-5)³= (-5)·(-5)·(-5) = -125

La potencia de 0 es 1
a0 =1
(− a)0 =1

La potencia con exponente negativo es su inversa positiva.
4¯² = ¼²

Producto con la misma base → se mantiene la base y se suman los exponentes.
  a².a³ = a²+³

División con la misma base → se mantiene la base y se restan los exponentes.
4³ : 4² = 4³¯² = 4¹ = 4

Potencia de una potencia → se mantiene la base y se multiplican los exponentes.
(a²)³ = a²·³

Producto con diferentes bases y mismos exponentes → se multiplican las bases y se mantiene el exponente.
 23 · 43 = (2 · 4)3=83

División con diferentes bases y mismos exponentes → se dividen las bases y se mantiene el exponente.
63 : 33 = (6:3)3 = 23

RAÍZ CUADRADA DE UN NÚMERO ENTERO
La raíz cuadrada es la operación inversa de elevar al cuadrado.
√a=b  ⇔  b²=a
√49=7  ⇔  7²=49
Los números cuya raíz cuadrada es un número entero se llaman cuadrados perfectos.
Un número positivo tiene dos soluciones (raíces cuadradas).  √(+16) = +4 y (-4)
Un número negativo no tiene solución.√(-16) = imposible (no hay ningún número que multiplicado por sí mismo me de un número negativo).

REGLA DE PRIORIDAD EN LAS OPERACIONES
Se calculan los paréntesis.
Se calculan las multiplicaciones y divisiones.
Por último se realizan las sumas y las restas.

Ejercicios:

1.Suma las siguientes operaciones:
( + 5 ) + ( + 3 ) =
( – 8 ) + ( – 5 ) =
( – 3 ) + ( + 9 ) =
(- 2 ) + ( – 15) =
( – 4 ) + ( – 4 ) =
( – 1 ) + ( + 7 ) =
( – 5 ) + ( + 0 ) =
( – 5 ) + ( + 5 ) =

2. Resta las siguientes operaciones:
 ( – 8 ) – ( + 0 ) =
( – 5 ) – ( + 5 ) =
( – 3 ) – ( + 9 ) =
( – 8 ) – ( – 5 ) =

3. Clasifica los siguientes números en positivos y negativos:
 +3
-5
+7
-9
+32
-6
25
-14
+345
-89

4.Expresa con números negativos las siguientes expresiones:
a) 10 grados bajo cero
b) Tercer sótano
c) 3 metros bajo el nivel del mar
d) 12 grados bajo cero

5.Realizar los siguientes ejercicios con operaciones combinadas:

−1 + 2 −3 + 4 − 5 − 6 = 
−1 + 2 −3 + 4 − 5 − 6
= −9

5 · (−2) − 3 · (−1) − 5 · 2 + 7 = 
5 · (−2) − 3 · (−1) − 5 · 2 + 7

= −10 + 3 − 10 + 7
= −10

24 : (−2) − 3 · 4 − 6 : 2 − (−3) · (−2) = 
−12 − 12 − 3 − 6
= −33

(−4)3 : 2 − 3 · 23 + 5 · (−3) − 20 = 
(−4)3 : 2 − 3 · 23 + 5 · (−3) − 20

= − 64 : 2 − 3 · 8 + 5 · (−3) − 20 =
= − 32 − 24 − 15 − 20
= −91

3 − (5 · 2) + 12 : (−3) − 4 · (6 − 4) = 
3 − (5 · 2) + 12 : (−3) − 4 · (6 − 4) =

= 3 − 10 − 4 − 4 · 2 =
= 3 − 10 − 4 − 8
= −19

3² − (4 − 3 · 2) + 6 + 2 · (24 : 4) = 
3² − (4 − 3 · 2) + 6 + 2 · (24 : 4) =

= 9 − (4 − 6) + 6 + 2 · (16 : 4) =
= 9 − (− 2) + 6 + 2 · 4 =
= 9 + 2 + 6 + 8
= 25

2 − [2 − (−4) − 12 : (−3)] − (5² · 3 − 1) = 
2 − [2 − (−4) − 12 : (−3)] − (5² · 3 − 1) =

= 2 − [6 − (−4)] − (25 · 3 − 1) =
= 2 − (6 + 4) − (75 − 1) =
= 2 − (10) − 74 =
= 2 − 10 − 74
= −82

4 − [2 − (3 − 4 · 3)] + [4 − (24 : 4)]5 − 4 = 
4 − [2 − (3 − 4 · 3)] + [4 − (24 : 4)]5 − 4

= 4 − [2 − (3 − 12)] + (4 − 6)5 − 4 =
= 4 − [2 − (−9)] + (−2)5 − 4 =
= 4 − (2 + 9) − 32 − 4 =
= 4 − 11 − 32 − 4
= −43

6 − {3 − [−13 + 3 · (−2)2]5} − [4 − (−2)³] + 6 = 
6 − {3 − [−13 + 3 · (−2)2]5} − [4 − (−2)³] + 6 =

= 6 − [3 − (−13 + 3 · 4)5] − [4 − (−8)] + 6 =
= 6 − [3 − (−13 + 12)5] − [4 + 8] + 6 =
= 6 − [3 − (−1)5] − (12) + 6 =
= 6 − [3 − (−1)] − 12 + 6 =
= 6 − (3 + 1) − 12 + 6 =
= 6 − 4 − 12 + 6
= −4