Polinomios

Índice

🔵 ¿Qué son los polinomios?	🟢 Operaciones con polinomios	🟡 División de polinomios	🟠 Factorización y raíces
Términos, coeficientes y grado	Suma, resta y multiplicación	División de polinomios	Raíces de un polinomio
Polinomios completos e incompletos	Valor numérico	Regla de Ruffini	Factorización

🔵 ¿Qué son los polinomios?

Los polinomios son expresiones matemáticas formadas por números, letras y operaciones. Por ejemplo: 2x² − 4x + 7
Las letras representan números y las potencias nos indican cuántas veces se multiplica una letra por sí misma.

Términos, coeficientes y grado (partes de un polinomio)

Observa el polinomio: P(x) = 3x³ − 5x² + 2x − 7

Término	Coeficiente	Grado
3x³	3	3
−5x²	−5	2
2x	2	1
−7	−7	0

🧠 Recuerda

• Término: cada parte del polinomio separada por un + o un −.
• Coeficiente: el número que acompaña a la letra.
• Grado: el mayor exponente de la letra que aparece en el polinomio.

Y para conocer el grado del polinomio completo, buscamos el exponente más grande: P(x) = 3x³ − 5x² + 2x − 7

👉 El grado del polinomio es 3.

Polinomios completos e incompletos

Un polinomio es completo cuando aparecen todos los grados desde el mayor hasta el término independiente y es incompleto cuando no aparece un término.

• x³ + 2x² + 4x + 5 Es completo porque aparecen: x³ → x² → x → número
• x³ + 4x − 2 Es incompleto porque no aparece el término x².

🟢 Operaciones con polinomios

➕ Suma de polinomios

Para sumar polinomios, agrupamos los términos que tienen la misma parte literal y el mismo exponente.

• Por ejemplo: (3x² + 2x) + (5x² + 4x)
• Agrupamos:
• 3x² + 5x² = 8x²
• 2x + 4x = 6x
• Resultado: 8x² + 6x

➖ Resta de polinomios

En una resta debemos tener mucho cuidado con los signos.

• Por ejemplo: (5x² + 3x) − (2x² + x)
• Quitamos el segundo paréntesis:
• 5x² + 3x − 2x² − x
• Ahora agrupamos:
• 5x² − 2x² = 3x²
• 3x − x = 2x
• Resultado: 3x² + 2x

⚠️ Cuidado

Cuando hay un signo − delante de un paréntesis, cambian los signos de todos los términos que están dentro.

✖️ Multiplicación de polinomios

Para multiplicar polinomios, tenemos que multiplicar cada término del primer polinomio por cada término del segundo.

• Por ejemplo: (x + 2)(x + 3)
• Multiplicamos:
• x · x = x²
• x · 3 = 3x
• 2 · x = 2x
• 2 · 3 = 6
• Ahora juntamos los términos semejantes:
• x² + 3x + 2x + 6
• x² + 5x + 6
• Por tanto: (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6

🧠 Truco

Todos con todos.Cada término del primer paréntesis tiene que multiplicarse por todos los términos del segundo.

Valor numérico

El valor numérico de un polinomio es el resultado que obtenemos cuando sustituimos la letra por un número.

• Por ejemplo: P(x) = 2x² + 3x − 1
• Vamos a calcular el valor de P cuando: x = 2
• Sustituimos: P(2) = 2 · 2² + 3 · 2 − 1
• Primero calculamos la potencia:
• P(2) = 2 · 4 + 6 − 1
• Después:
• P(2) = 8 + 6 − 1
• P(2) = 13
• Por tanto: P(2) = 13

🧠 Recuerda

Sustituye → calcula las potencias → multiplica → suma o resta.

🟡 División de polinomios

Dividir polinomios es parecido a hacer una división de números, pero debemos trabajar con términos y potencias.

• Por ejemplo: (6x² + 9x) ÷ 3x
• Dividimos cada término entre 3x:
• 6x² ÷ 3x = 2x
• 9x ÷ 3x = 3
• Por tanto: (6x² + 9x) ÷ 3x = 2x + 3

En divisiones más complicadas utilizamos el procedimiento de división de polinomios.

Regla de Ruffini

🟠 Factorización y raíces

Raíces de un polinomio

Una raíz de un polinomio es un número que, al sustituirlo en el polinomio, hace que el resultado sea 0.

• Por ejemplo: P(x) = x − 3
• Probamos con: x = 3
• P(3) = 3 − 3 = 0
• Por tanto: 3 es una raíz del polinomio.

🧠 Truco

Raíz → resultado 0. Si sustituyes un número y obtienes 0, has encontrado una raíz.

Factorización

Factorizar un polinomio significa escribirlo como una multiplicación de expresiones más sencillas.

• Por ejemplo: x² − 9
• Podemos escribirlo como: (x − 3)(x + 3)
• Así hemos transformado una expresión en una multiplicación.
• La factorización resulta muy útil para simplificar expresiones y resolver ecuaciones.

🔎 Relación entre raíces y factores

Si 3 es una raíz de un polinomio, entonces x − 3 aparece como uno de sus factores.

• Por ejemplo: x² − 9 = (x − 3)(x + 3)
• Las raíces son: x = 3 y: x = −3

🎮 Juegos

Ahora puedes practicar los polinomios de una forma más divertida mediante juegos y fichas de ejercicios.

Fichas

🔗 Para seguir aprendiendo

📗 Polinomios → operaciones y conceptos específicos sobre polinomios.
📙 Productos notables → apréndelos con juegos y fichas
📘 Ecuaciones de segundo grado → resolución de ecuaciones de segundo grado.
📒 Sistemas de ecuaciones → resolución de sistemas con dos o más incógnitas.

📝 Resumen

Los polinomios son expresiones algebraicas formadas por números, letras y operaciones. Aprende a identificar sus términos, coeficientes y grado, distinguir polinomios completos e incompletos y realizar operaciones como suma, resta, multiplicación y división. En niveles más avanzados también aprenderás a utilizar Ruffini, encontrar raíces y factorizar polinomios.