Tema 1: NÚMEROS NATURALES

 Los números naturales están ordenados y son ilimitados.

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Operaciones con números naturales

EL VALOR ABSOLUTO, ES UN NÚMERO SIN SIGNO, ES DECIR, EL VALOR ABSOLUTO DE:

8 8   72 72

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JUEGO: Suma de números naturales:

Los términos que intervienen en una suma se denominan sumandos. Por lo tanto, a será un sumando y b será otro sumando. El resultado (c) se denomina suma.     a + b = c

JUEGOS: PROPIEDADES DE LA SUMA

 Asociativa.
El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado. (a + b) + c = a + (b + c
Ejemplo:
(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)
5 + 5 = 2 + 8
10 = 10

 Conmutativa
El orden de los sumandos no varía la suma. a + b = b + a.
Ejemplo:
2 + 5 = 5 + 2.
7 = 7

Resta de números naturales:

Los términos que intervienen en una resta se denominan minuendo (a), sustraendo (b) y diferencia (c).     ab = c

Multiplicación de números naturales:

Los términos de la multiplicación se denominan factores (a) y (b),  y producto (c) el resultado.  a x b = c Multiplicar dos números naturales consiste en sumar uno de los factores consigo mismo tantas veces como indica el otro factor. Por ejemplo, la multiplicación (2·5) consiste en sumar el número 2 cinco veces.

2+2+2+2+2 = 10   ⇒   2 x 5 = 10

Propiedades de la multiplicación:

 Asociativa
El modo de agrupar los factores no varía el resultado.  (a · b) · c = a · (b · c).
Ejemplo:
(2 · 3) · 5 = 2 · (3 · 5).
6 · 5 = 2 · 15.
30 = 30

 Conmutativa
El orden de los factores no varía el producto.    a · b = b · a
Ejemplo:
2 · 5 = 5 · 2.
10 = 10

 Distributiva

La multiplicación de un número natural por una suma es igual a la suma de las multiplicaciones de dicho número natural por cada uno de los sumandos.  a·(b + c) = a·b + a·c. Ejemplo:
2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5
2 · 8 = 6 + 10
16 = 16

 Sacar factor común

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva. Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

     a · b + a · c = a · (b + c)
Ejemplo:
2 · 3 + 2 · 5 = 2 · (3 + 5)
6 + 10 = 2 · 8
16 = 16
TIPOS DE DIVISIÓN:

 División exacta: una división es exacta cuando el resto es cero.
15:5 = 3   de resto 0

División entera: una división es entera cuando el resto es distinto de cero.
19:5 = 3   de resto 4

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Potencias de números naturales:

Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales.  Los elementos que constituyen una potencia son:
La base de la potencia es el número que multiplicamos por sí mismo, en este caso el 5.
El exponente de una potencia indica el número de veces que multiplicamos la base, en el ejemplo es el 4.

5 · 5 · 5 · 5 = 54

Cualquier número elevado a 0 es igual a 1.
502° = 1

Cualquier número elevado a 1 es igual a sí mismo.
19¹ = 19

 PRODUCTO DE POTENCIAS CON LA MISMA BASE
Se  suman  los exponentes.
25 · 22 = 25+2 = 27

DIVISIÓN DE POTENCIAS CON LA MISMA BASE
Se restan los exponentes.
25 : 22 = 25 − 2 = 23

POTENCIA DE UNA POTENCIA
Se multiplican los exponentes.
(25)3 = 215

PRODUCTO DE POTENCIAS CON EL MISMO EXPONENTE Y DIFERENTE BASE.
Se deja el mismo exponente y se multiplican las bases.
23 · 43 = (2 · 4)3=83

DIVISIÓN DE POTENCIAS CON EL MISMO EXPONENTE Y DIFERENTE BASE.
Se deja el mismo exponente y se dividen las bases.
63 : 33 = (6:3)3 = 23

Raíz cuadrada:
La radicación es la operación inversa a la potenciación.  Consiste en: dados dos números, llamados radicando e índice, hallar un tercero, llamado raíz, tal que, elevado al índice, sea igual al radicando.
(Raíz)índice = Radicando        5² = 25

En la raíz cuadrada el índice es 2, aunque en este caso se omite, es decir, no se pone el 2.
√25 = 5 

  • El índice es 2 (por eso no se pone)
  • El radicando es 25
  • La raíz es 5

Operaciones combinadas:
ORDEN QUE HAY QUE SEGUIR PARA RESOLVER COMBINADAS

  1. Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.
  2. Calcular las potencias y raíces.
  3. Efectuar los productos y cocientes.
  4.  Realizar las sumas y restas.

(15 − 4) + 3 − (12 − 5 · 2) + (5 + 16 : 4) − 5 + (10 − 22) =.
=11 + 3 – (12 – 10) + (5 + 4) – 5 + (10 – 4) =
=11 + 3 -2 + 9 – 5 + 6 =
= 22

Realizamos en primer lugar las operaciones que están dentro de los paréntesis, respetando el orden de prioridad.
Quitamos paréntesis realizando las operaciones.

EJERCICIOS
A.  8 − 6 + 7 − 5 − 2 + 8 − 6 =
B.  4 · 3 − 8 + 7 · 2 − 10 + 2 · 6 =
C.  6· 3 − 12 : 2 + 7 − 4 · 3 =
D.  3² − 4 · 2 + 18 : 3 + 24 − 42 =
E.  (13 − 4 · 2) − 4 + (2 · 6 − 7) − (14 − 3²) =
F.  [3³ − (4 · 3 + 8)] − (3 · 6 − 15) + 22 – (8 − 6) =
G.  8² − [(12 : 2) · (24 : 6)] − {25 − [24 − (18 : 3)]} =

Soluciones:
A. 8 − 6 + 7 − 5 − 2 + 8 − 6 =
4

B. 4 · 3 − 8 + 7 · 2 − 10 + 2 · 6 =
=12 − 8 + 14 − 10 + 12 =
=20

C. 6 · 3 − 12 : 2 + 7 – 4 · 3=
= 18 − 6 + 7 – 12=
= 7

D. 3² − 4 · 2 + 18 : 3 + 24 − 42=
= 9 − 8 + 6 + 16 − 16=
= 7

E. (13 − 4 · 2) − 4 + (2 · 6 − 7) − (14 − 3²)=
= (13 − 8) − 4 + (12 − 7) − (14 − 9)=
= 5 − 4 + 5 − 5=
= 1

F. [3³ − (4 · 3 + 8)] − (3 · 6 − 15) + 22 − (8 − 6) =
= [27 − (12 + 8)] − (18 − 15) + 22 − (8 − 6)=
= 27 − 20 − 3 + 22 − 2=
= 24