Funciones y gráficas
Índice
| 🔵 Conceptos básicos | 🟢 Tablas y gráficas | 🟡 Características de las funciones | 🟠 Tipos de funciones |
|---|---|---|---|
| ¿Qué es una función? | Tablas de valores | Crecimiento y decrecimiento | Funciones lineales y afines |
| Variables dependiente e independiente | Coordenadas y representación | Máximos y mínimos | Funciones cuadráticas |
| Dominio y recorrido | Interpretación de gráficas | Continuidad y discontinuidad | Funciones de proporcionalidad |
| Simetría y periodicidad | Pendiente y ecuación de la recta |
🔵 Conceptos básicos
¿Qué es una función?
Las funciones nos ayudan a relacionar dos cantidades. Por ejemplo, podemos relacionar el tiempo que estudiamos con el número de ejercicios que hacemos, o el número de kilómetros recorridos con el precio de un viaje. Las funciones pueden representarse mediante tablas, puntos y gráficas.
Una función es una relación entre dos variables en la que a cada valor de la variable independiente le corresponde un único valor de la variable dependiente. Por ejemplo, imaginemos que cada entrada de cine cuesta 8 €.
| 🎟️ Número de entradas (x) | 💶 Precio total (y) |
|---|---|
| 1 | 8 € |
| 2 | 16 € |
| 3 | 24 € |
| 4 | 32 € |
La función que relaciona ambas variables es: y = 8x
| Variable | Qué representa |
|---|---|
| x | Número de entradas → variable independiente |
| y | Precio total → variable dependiente |
Variables dependiente e independiente
En una función normalmente tenemos dos variables.
Variable independiente
Es la variable que podemos elegir o modificar.
Normalmente se representa con x.
Variable dependiente
Es la variable cuyo valor depende de x.
- Normalmente se representa con y.
- Por ejemplo: y = 3x
- Si elegimos: x = 2
- obtenemos: y = 3 · 2 = 6
- Por tanto, y depende de x.
📌 Recuerda
x → independiente
y → dependiente
Dominio y recorrido
El dominio de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente, normalmente x. El recorrido es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente, normalmente y.
- Por ejemplo, si: y = 2x
- y solamente utilizamos: x = 1, 2, 3
- tenemos: Dominio → {1, 2, 3}
- y los valores correspondientes de y son:
- y = 2, 4, 6
- Por tanto: Recorrido → {2, 4, 6}
🟢 Tablas y gráficas
Tablas de valores
Una tabla de valores nos permite organizar los valores de una función.
Por ejemplo: y = 2x + 1
Podemos elegir algunos valores para x:
| x | y = 2x + 1 |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 3 |
| 2 | 5 |
| 3 | 7 |
Coordenadas y representación
Para representar una función utilizamos un sistema de coordenadas cartesianas. Está formado por dos ejes:
- Eje X → eje horizontal.
- Eje Y → eje vertical.
Cada punto se representa mediante un par de coordenadas: (x, y)
Por ejemplo: (2, 5) significa que:
- avanzamos hasta 2 en el eje X;
- subimos hasta 5 en el eje Y.
Interpretación de gráficas
Una gráfica nos permite observar cómo cambia una cantidad respecto a otra.
Por ejemplo, si una gráfica sube de izquierda a derecha, significa que los valores de y aumentan cuando aumentan los valores de x.
Si la gráfica baja, los valores de y disminuyen.
Cuando una parte de la gráfica es horizontal, la función permanece constante en ese tramo.
🟡 Características de las funciones
Crecimiento y decrecimiento
- Una función es creciente cuando, al aumentar x, también aumentan los valores de y.
- Por ejemplo: x aumenta → y aumenta
- Una función es decreciente cuando, al aumentar x, los valores de y disminuyen.
- x aumenta → y disminuye
- También puede haber tramos en los que la función sea constante.
Máximos y mínimos
- Un máximo es un punto en el que la función alcanza un valor especialmente alto.
- Un mínimo es un punto en el que alcanza un valor especialmente bajo.
- Por ejemplo, si una gráfica sube, llega a un punto y después comienza a bajar, ese punto puede ser un máximo.
- Si una gráfica baja, llega a un punto y después empieza a subir, tenemos un mínimo.
Continuidad y discontinuidad
- Una función es continua cuando podemos recorrer su gráfica sin levantar el lápiz del papel.
- Por ejemplo, una recta es continua.
- Una función es discontinua cuando presenta algún salto, interrupción o separación.
Simetría y periodicidad
- Una función puede tener simetría cuando su gráfica presenta una determinada correspondencia respecto a un eje o a un punto.
- Por ejemplo, una gráfica puede ser simétrica respecto al eje Y.
- Una función es periódica cuando su comportamiento se repite siguiendo un determinado patrón.
- Un ejemplo sencillo lo encontramos en fenómenos que se repiten regularmente, como ciertos movimientos o ciclos.
🟠 Tipos de funciones
Funciones de proporcionalidad
Una función de proporcionalidad directa tiene la forma: y = kx donde k es la constante de proporcionalidad.
Por ejemplo: y = 3x
Si x aumenta, y también aumenta manteniendo siempre la misma proporción.
Su representación gráfica es una recta que pasa por el origen (0, 0).
Funciones lineales y afines
Las funciones lineales y afines se representan mediante rectas.
Una función afín tiene la forma: y = mx + n donde:
- m → es la pendiente.
- n → es la ordenada en el origen, es decir, el punto donde la recta corta al eje Y.
Por ejemplo: y = 2x + 1 Tiene:
- m = 2
- n = 1
Por tanto, la recta corta al eje Y en el punto: (0, 1)
¿Qué nos dice la pendiente?
La pendiente indica cómo cambia y cuando cambia x.
- m > 0 → la recta es creciente.
- m < 0 → la recta es decreciente.
- m = 0 → la recta es horizontal.
Pendiente y ecuación de la recta
La pendiente también puede calcularse utilizando dos puntos de una recta: m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) Por ejemplo, si tenemos los puntos:
- A(1, 3)
- B(3, 7)
calculamos:
- m = (7 − 3) / (3 − 1)
- m = 4/2 = 2
La pendiente es: m = 2
Una vez conocemos la pendiente y otro punto, podemos obtener la ecuación de la recta.
Funciones cuadráticas
Una función cuadrática tiene una expresión de la forma: y = ax² + bx + c
La característica principal es que aparece x².
Su gráfica no es una recta, sino una curva llamada parábola.
Por ejemplo: y = x²
🧠 Truco
x → recta puede aparecer en funciones lineales.
x² → parábola en una función cuadrática.
🎮 Juegos y actividades
Ahora puedes practicar las funciones y gráficas mediante juegos interactivos y fichas de ejercicios.
¿Qué es una función?
Es una relación en la que a cada valor de la variable independiente le corresponde un único valor de la variable dependiente.
¿Cuál es la diferencia entre variable independiente y dependiente?
La variable independiente (x) es la que podemos elegir, mientras que la variable dependiente (y) cambia según el valor de x.
¿Qué son el dominio y el recorrido?
El dominio contiene los valores que puede tomar x y el recorrido los valores que puede tomar y.
¿Qué es la pendiente de una recta?
La pendiente indica cuánto cambia y cuando cambia x. En la ecuación y = mx + n, está representada por la letra m.
¿Qué diferencia hay entre una función lineal y una función cuadrática?
Una función lineal o afín se representa mediante una recta, mientras que una función cuadrática se representa mediante una parábola.
¿Qué son las funciones y gráficas?
Las funciones y gráficas nos ayudan a representar y entender la relación entre dos variables.
¿Para qué sirven las funciones y gráficas?
Las funciones y gráficas permiten estudiar cómo cambia una cantidad cuando cambia otra y representar esa relación de forma visual.
¿Cómo se representan las funciones y gráficas?
Las funciones y gráficas pueden representarse mediante tablas de valores, puntos en el plano cartesiano y diferentes tipos de gráficas.
¿Cómo se interpretan las funciones y gráficas?
Para interpretar las funciones y gráficas debemos observar los ejes, los valores, si la gráfica crece o decrece y sus principales características.
Fichas
📝 Resumen
Las funciones y gráficas permiten estudiar cómo se relacionan dos variables. Aprende a trabajar con tablas, coordenadas y gráficas, identificar el dominio y el recorrido, estudiar el crecimiento, los máximos y mínimos y reconocer funciones de proporcionalidad, lineales, afines y cuadráticas.
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